Fórmulas Fundamentales del Cálculo
Esta sección presenta una recopilación esencial de las reglas de derivación e integración, incluyendo técnicas avanzadas y aplicaciones en cálculo multivariable.
Reglas de Derivación (Cálculo Diferencial)
Sea $c$ una constante y $u, v$ funciones de $x$. La notación $u’$ representa $\frac{du}{dx}$.
Reglas Básicas y Operaciones
- Derivada de una constante: $(c)’ = 0$
- Constante por función: $(cu)’ = c \cdot u’$
- Suma/Resta: $(u \pm v)’ = u’ \pm v’$
- Producto: $(uv)‘ = u’v + uv’$
- Cociente: $(\frac{u}{v})’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$
- Regla de la Cadena: $(f(g(x)))’ = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Potencias y Recíprocos
- Potencia general: $(u^n)’ = n \cdot u^{n-1} \cdot u’$
- Recíproco simple: $(\frac{1}{u})’ = -\frac{u’}{u^2}$
- Recíproco de potencia: $(\frac{1}{u^n})’ = -\frac{n \cdot u’}{u^{n+1}}$
- Raíz cuadrada: $(\sqrt{u})’ = \frac{u’}{2\sqrt{u}}$
Funciones Exponenciales y Logarítmicas
- Exponencial natural: $(e^u)’ = e^u \cdot u’$
- Exponencial base $a$: $(a^u)’ = a^u \cdot \ln(a) \cdot u’$
- Logaritmo natural: $(\ln u)’ = \frac{u’}{u}$
- Logaritmo base $a$: $(\log_a u)’ = \frac{u’}{u \cdot \ln a}$
Funciones Trigonométricas e Inversas
Derivadas Trigonométricas
- $(\sin u)’ = \cos u \cdot u’$
- $(\cos u)’ = -\sin u \cdot u’$
- $(\tan u)’ = \sec^2 u \cdot u’$
- $(\cot u)’ = -\csc^2 u \cdot u’$
- $(\sec u)’ = \sec u \cdot \tan u \cdot u’$
- $(\csc u)’ = -\csc u \cdot \cot u \cdot u’$
Derivadas Trigonométricas Inversas
- $(\arcsin u)’ = \frac{u’}{\sqrt{1 – u^2}}$
- $(\arccos u)’ = -\frac{u’}{\sqrt{1 – u^2}}$
- $(\arctan u)’ = \frac{u’}{1 + u^2}$
- $(\arccot u)’ = -\frac{u’}{1 + u^2}$
- $(\text{arcsec } u)’ = \frac{u’}{|u|\sqrt{u^2 – 1}}$
- $(\text{arccsc } u)’ = -\frac{u’}{|u|\sqrt{u^2 – 1}}$
Fórmulas de Integración (Integrales Indefinidas)
Integrales Básicas y Potencias
- $\int dx = x + C$
- $\int a dx = a \cdot x + C$
- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, si $n \neq -1$
- $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
- $\int e^x dx = e^x + C$
- $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C$
- $\int \ln(x) dx = x \cdot \ln(x) – x + C$
Integrales Trigonométricas Estándar
- $\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$
- $\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$
- $\int \tan(x) dx = \ln |\sec(x)| + C$
- $\int \cot(x) dx = \ln |\sin(x)| + C$
- $\int \sec(x) dx = \ln |\sec(x) + \tan(x)| + C$
- $\int \csc(x) dx = \ln |\csc(x) – \cot(x)| + C$
- $\int \sec^2(x) dx = \tan(x) + C$
- $\int \csc^2(x) dx = -\cot(x) + C$
- $\int \sec(x)\tan(x) dx = \sec(x) + C$
- $\int \csc(x)\cot(x) dx = -\csc(x) + C$
Integrales con Formas Cuadráticas ($a^2 \pm x^2$)
- $\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$
- $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$
- $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 – a^2}} dx = \frac{1}{a} \text{arcsec}(\frac{|x|}{a}) + C$
- $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 – a^2}} dx = \ln|x + \sqrt{x^2 – a^2}| + C$ (Forma Hiperbólica)
- $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C$ (Forma Hiperbólica)
Métodos de Integración
-
Sustitución Simple (Cambio de Variable):
Si $u = g(x)$, entonces $du = g'(x) dx$. Se transforma $\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du$.
-
Integración por Partes:
Fórmula: $\int u dv = u \cdot v – \int v du$.
Para la elección de $u$ y $dv$, se recomienda usar el acrónimo LIATE (Logarítmicas, Inversas, Algebraicas/Polinómicas, Trigonométricas, Exponenciales).
-
Fracciones Parciales:
Se aplica a funciones racionales $\frac{P(x)}{Q(x)}$ (donde el grado de $P(x)$ es menor que el de $Q(x)$) mediante la factorización del denominador $Q(x)$.
- Caso 1: Factores lineales distintos: $$\frac{f(x)}{(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…} = \frac{A}{a_1x+b_1} + \frac{B}{a_2x+b_2} + …$$
- Caso 2: Factores lineales repetidos: $$\frac{f(x)}{(ax+b)^n} = \frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + … + \frac{A_n}{(ax+b)^n}$$
- Caso 3: Factores cuadráticos irreducibles distintos: $$\frac{f(x)}{… (ax^2 +bx+c)…} = … + \frac{Ax+B}{ax^2 +bx+c} + …$$
- Caso 4: Factores cuadráticos irreducibles repetidos: $$\frac{f(x)}{(ax^2 +bx+c)^n} = \frac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c} + … + \frac{A_nx+B_n}{(ax^2+bx+c)^n}$$
Integral Definida (Teorema Fundamental del Cálculo)
$$\int_a^b f(x) dx = F(b) – F(a)$$
Ejercicios Resueltos de Integrales Múltiples y Cambio de Variables
Problema 1: Cambio de Orden de Integración
Integral Original: $I=\int_0^4 \int_{y/2}^{\sqrt{y}} \frac{\cos(3x)}{x} dx dy$
Región: $0 \le y \le 4$, $y/2 \le x \le \sqrt{y}$.
Cambio a Tipo 1: $0 \le x \le 2$, $x^2 \le y \le 2x$.
Integral Reescrita: $I=\int_0^2 \int_{x^2}^{2x} \frac{\cos(3x)}{x} dy dx$
Pasos clave:
- Integración interna: $\int_{x^2}^{2x} \frac{\cos(3x)}{x} dy = 2\cos(3x) – x\cos(3x)$
- Integración externa: $\int_0^2 (2\cos(3x) – x\cos(3x)) dx$
- Resultado Final: $I = \frac{1}{9} \cos(6) + \frac{1}{9}$
Problema 2: Cambio de Orden y Sustitución
Integral Original (Corregida): $I=\int_0^4 \int_{y^2/4}^{y} e^{2y^2 -y^3 /3} dx dy$
Región: $0 \le y \le 4$, $y^2/4 \le x \le y$.
Pasos clave:
- Integración interna: $e^{2y^2 -y^3 /3} (y – y^2/4)$
- Sustitución: $u = 2y^2 – \frac{y^3}{3}$, $du = 4(y – y^2/4) dy$
- Resultado Final: $I = \frac{1}{4} (e^{32/3} – 1)$
Problema 4: Cambio de Variables (Jacobiano)
Integral: $I=\iint xy(y^2 +4x^2)e^{xy(4x^2 -y^2)}dA$
Transformación: $u=xy$, $v=4x^2-y^2$. Límites: $2 < u < 4$, $1 < v < 8$.
Jacobiano Inverso: $J(u,v) = \frac{1}{2(y^2 + 4x^2)}$
Integral en $u, v$: $I = \int_2^4 \int_1^8 \frac{u}{2} e^{uv} dv du$
Resultado Final: $\frac{e^{32} – e^{16}}{16} – \frac{e^4 – e^2}{2}$
Problema 5: Cambio de Variables Lineal
Integral: $I=\iint(x-2y)^2 \sqrt{2+(x-2y)(x+y)} dA$
Transformación: $u=x-2y$, $v=x+y$. Jacobiano: $J(u,v) = \frac{1}{3}$
Límites en $u, v$: $0 < u < \sqrt{2}$, $v=-u/2$ a $v=u$.
Integral en $u, v$: $I = \frac{1}{3} \int_0^{\sqrt{2}} u^2 \int_{-u/2}^u \sqrt{2+uv} dv du$
Resultado Final: $\frac{68 – 24\sqrt{2}}{45}$
Problema 6: Cambio de Variables Complejo
Integral: $I=\iint -12\frac{(y-x)^2}{(2x+3y)^2} \cos(\frac{3(y-x)}{2x+3y}) dA$
Transformación: $u=y-x$, $v=2x+3y$. Jacobiano: $J(u,v) = \frac{1}{5}$
Resultado Final: $I = -\frac{1}{10}\sin(\frac{3}{2}) – \frac{6}{5}\cos(\frac{3}{2})$
Problemas 7 y 8: Integración en Coordenadas Polares
La transformación utiliza $x=r\cos(\theta)$, $y=r\sin(\theta)$, $dA = r dr d\theta$.
Problema 7: Región Anular y Sectorial
Región $D$: $4\sin(\theta) < r < 8\sin(\theta)$, con límites angulares $\pi/2 < \theta < 5\pi/6$.
- Círculos: $r=4\sin\theta$ y $r=8\sin\theta$.
- Línea límite: $y=-x/\sqrt{3}$ (corresponde a $\theta=5\pi/6$).
- Cálculo de Área (Ejemplo): $A = \int_{\pi/2}^{5\pi/6} \int_{4\sin\theta}^{8\sin\theta} r dr d\theta$
- Resultado (Parcial): $4\pi + 3\sqrt{3}$
Problema 8: Región Circular en Cuadrantes Inferiores
Región $R$: Interior de $x^2+y^2+4y<0$ (Círculo $r=-4\sin\theta$).
- Límites Radiales: $0 < r < -4\sin(\theta)$
- Límites Angulares: $\pi < \theta < 2\pi$