Resolución de Problemas y Estructuras Aritméticas

Aplicación de Estructuras Aditivas y Multiplicativas

Problema: A una excursión asisten 14 alumnos de 3ºA. De 3ºB van 7 alumnos más que de 3ºA. De 3ºC van 5 alumnos menos que de 3ºA.

1. ¿Cuántos alumnos van en total? (Estructura aditiva de composición y comparación).
2. El coste es de 12 euros por alumno. ¿Cuánto dinero deben abonar en total? (Estructura multiplicativa).

Conceptos Fundamentales en el Desarrollo del Número

Subitización

Capacidad para determinar el número de elementos de una colección con un solo golpe de vista, sin necesidad de contar.

Conteo

Actividad matemática por la cual se determina el primer elemento de la colección y se le asigna la palabra «uno», determinar el siguiente y asignarle la palabra «dos», y así sucesivamente. La última palabra asignada representa el cardinal de la colección.

Enumeración

Establecer una relación de orden donde hay que determinar el primer elemento (el inicio), el siguiente, y así sucesivamente en una colección. La tarea finaliza cuando se han tocado todos los elementos.

Sistemas de Numeración Históricos y Actuales

Sistema Egipcio

• No utiliza el cero.
• No posicional.
• Aditivo.
• Generación de signos limitada.
• La cantidad de signos no indica mayor o menor valor.
• Colocación arbitraria de los signos.

Sistema Indoarábigo

• Sí utiliza el cero.
• Posicional (Ejemplo: 2,222).
• Aditivo-multiplicativo.
• Expresión polinómica (Ejemplo: 5782 = 5·10³ + …).
• Base 10.
• Signos: 0, 1, 2, 3, 4…
• La cantidad de signos indica mayor o menor valor.
• Las cifras se colocan de forma lineal de derecha a izquierda, aumentando su valor (unidades simples de orden 0, etc.).

Desarrollo de la Noción de Espacio (Micro, Meso y Macroespacio)

Microespacio

Espacio de las interacciones ligadas a la manipulación de los objetos pequeños. Es el espacio próximo al sujeto que contiene los objetos muy accesibles. El sujeto está en el exterior del espacio, centrado en su perspectiva. El espacio está generado alrededor del objeto.

• Propiedades espaciales atribuidas al objeto: longitud (en tres dimensiones).
• No hay necesidad de sistema de referencia.

Mesoespacio

El sujeto está en el interior del espacio, y tiene necesidad de descentraciones. El espacio es considerado como un continente homogéneo de los objetos.

• Propiedades del espacio vacío: extensión (distancias).
• Hay tres dimensiones y no es isótropo.
• Necesidad de coordinar, bajo el control continuo de la vista, el sistema de referencia del sujeto con un sistema de referencia fijo.

Macroespacio

El sujeto está en el interior del espacio, tiene necesidad de descentrarse para integrar y coordinar sus percepciones fragmentarias. Espacio como continente, construido intelectualmente.

• Propiedades del espacio: extenso, tres dimensiones.
• Espacio isótropo.
• Para orientarse es necesario coordinar un sistema de referencia del sujeto con sistemas externos.

El Tesoro: Diseño y Gestión de una Actividad Didáctica

A. Hipótesis de aprendizaje sobre las que se sustenta esta actividad

1. Acción: El niño tiene que estar activo y manipulativo.
2. Desequilibrio: El niño tendrá conflictos cognitivos. Primero se le presentan 4 objetos (trabajando la memoria), y después se le presentan más, lo que provoca un conflicto cognitivo y desequilibrios.
3. Construcción: El niño construye su aprendizaje a partir de sí mismo y en contra de conocimientos previos. Los niños tienen obstáculos.

B. Variables didácticas

• Número de objetos.
• Ubicación espacial de los objetos en la caja.
• Forma de los objetos.
• Familias a las que pertenecen los objetos.
• Homogeneidad o heterogeneidad de los objetos seleccionados en la caja.
• Utilización de cada uno de los objetos.

C. Gestión que puede hacer el maestro/a de dichas variables para provocar desequilibrios en el aprendizaje de los niños

El maestro puede aumentar el número de familias de objetos. Los objetos se presentan de forma desordenada para que les sea más difícil memorizar. Esto busca provocar conflictos en el niño y que tenga que usar otras estrategias.

D. Estrategias que pueden utilizar los alumnos en funcionamiento

El niño intenta identificar el objeto con su forma, añadiendo trazos distintivos y afirmativos o negativos.

E. Relación entre las variables didácticas y las estrategias de los alumnos

Se observa en el paso de la memoria a la codificación escrita. Por ejemplo, simbolizar los colores cuando la maestra prohíbe que se usen.

F. Obstáculos epistemológicos y ontogenéticos que permite superar esta situación a los alumnos

• Epistemológico: Se supera en el dibujo libre.
• Ontogenético: La conservación de la cantidad, ya que el niño aún no tiene esta conciencia.

Algoritmos de Sustracción: Comparativa de Métodos

Método de «Pedir Prestado» (Llevadas)

Es muy comprensivo. Con un golpe de vista se aprecia la operación.

Inconvenientes

• Cuando existe un número considerable de ceros en el minuendo, su ejecución resulta muy costosa.
• Su empleo en el algoritmo de la división es complejo.

Método de Compensación

Ventajas

• Es un algoritmo de ejecución muy rápido y económico, por ello se ha difundido socialmente muchísimo.
• Es muy válido y económico para el algoritmo de la división, y es el que normalmente utilizamos.

Inconvenientes

• Cuando se ejecuta con rapidez, no se observan de forma comprensiva los pasos ocultos en los que se fundamenta.
• La mayoría de las personas que lo ejecutan desconocen los fundamentos matemáticos en los que se apoyan.