Cálculo de Integrales Múltiples y Volúmenes en Coordenadas Curvilíneas

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1.Z=(x-2)^2 ^ z=5-(x-1)^2 ^ y=0 ^ z-2y+3=0 || circulo tmb en 2 x  Por coord cilindr:
|| una circun centro y=3 de 0 a 6 ||
1ra ec  esfe centro 3 avanz 3

calcule I=∭cos(-2x^3/3 + 3x^2)/z+3 || para ti: 0<ti<2pi para r: 0<r<2 para x: cono<x<parab || 2da ecuac parabolo pico y=6 || 2da ec parabol pico en y=0

Grafica: 1ro plano xz (0<x<3) y ((x-2..<z<5-… ||   √x^2 +z^2 < x <y^2 +z^2-8 /2 -> r < x < r^2 -8/2 ||  pasa en z=√5 la circunfe tamb || pasan por radio 8 en z

2do xyz piso xz (0<y<z+3/2) I=∫0 3 ∫lo de z || I= ∫0 2PI ∫0 2 ∫lo de x r^2.Cos^2(ti)/r. R dxdrdti || Por coord cilindri: Para ti: 0 a 2pi  || Por coord cilin: para ti: 0 a 2pi

∫lo de y cos(-2x^3….)/z+3 dydzdx ->1/2∫0 3 ∫lo de z || I=∫0 2PI ∫0 2 (r^4cos^2(ti)/2 – 4r^2cos^2(ti) || para r: 0 a √5 para y= esf a parab || para r: 0 a√8 para y=parab a esf 

cos(-2x…)dzdx -> 1/2∫0 3 cos(…).(-2x^2 +6x) dx -> || – r^3cos^2(ti))drdti ->52/15(∫0 2PI cos^2(ti)dti) || 3-√9-r^2 < y < 6-r^2   || r^2 / 4< y<3+√9-r^2 

sustituc u=lo de cos  I=1/2∫0 3 cos u du -> I=sin(9)/2 || 52/15(1/2[x+ sin(2ti)/2]0 2pi -> I=52/15pi || I=∭rsin(ti)/r .R dydrdti =∫0 2pi sin(ti) || I= …. R dydrdti -> I=∫0 2pi(

Limitad: y^2 +z^2

curva intersecc para D:(x-2)(x+4)=0 si x=2->y^2 +z^2 =4 circulo || I=∭z/√x^2 +z^2  (y-1)(y-6)=0 circun || 4y=x^2+z^2  || – 
∫0 √8 r^3/4 dr) I= u=9−r2, du=−2r dr

para om: piso yz paraboloide punta 4 x con …8-2x cono con …X^2 || en xz radio √5 -> piso xz 1ra ecuac || y(y-2)=0 -> y=2 circun con radio √8 || -> 1/3 (9^3/2 -1) I= 100pi/3


por coor esf ||  denotar s=√16-r^2 ->r/2 ln(16+4s/r^2) || … Pcoso.Sino dpdodti || I=∫∫∫ 1/p^2sin(o)cos ti . P^2sin(o) dpdodti || en xyz 1ra ec parab x=0 para arriba

I= ∫0 2pi ∫0 pi/3 ∫0 6cos(o) p^2 dpdodti ||  pi ∫0 4 r(ln 4 +ln(4+s))-2ln r) || 32∫∫ cos^3o sino dodti  || I=∫∫ 4sin(o)dodti || pasa por 2 en y 2da ec parab x=8 para abaj

I= 135pi/4 ||  1ro 8ln4 3ro -16 ln4 +8 2do: sust 4sint con s=4cost || sust u=coso I=32∫ √2/2 1 u^3 du  || i=4∫ -cos(o)]0 pi/3  I=4pi || por coord cilin para ti: 0 a 2pi

5. x^2+y^2+ z^2< 8z ; z^2>x^2+y^2 ||  16∫ sint cost(ln4+ln(1+cost))dt || 8(1-1/4) = 6 -> 12pi || 7. Y=4-x^2 ; y=2- x^2/2; z=0; 2y+3z=12 || para r: 0 a 2 para x: para1

para D: z(z-4) = 0 si z=4 -> 16>x^2+y^2 || sus u=1+cost  16∫ 1 2 (u-1)ln u du ||6. X^2+y^2+ z^2<4; || plano xy igual a y parábolas -2<x<2 || a para2 -> r^2 < x < 8-r^2 

circun para om: piso xy 1ra ec esfer centro 4 ||    = 8ln4 +4 ||
x^2+y^2+ z^2<4x 4=4x ->x=1 y+z=√3  || 2-x^2/2 < y<4-x^2  espacio xyz || V= ∫∫∫rdxdrdti -> V=16pi u^3

va de 4 2da ec cono de z=0 choca en -4 y 4 ||  suamdo = 12 -> 12pi || 1ra ec cent x=0 a 2 2d ec 2 x=2 a 4  || 0 <z<12-2y/3 || 9. X^2+y^2 +z^2 <6z; cono 3( x^2+y^2)<z^2  

por coor cilin para ti: 0 a dos pi, para r: 0 a 4 ||  por coord esféricas: || Por cor esfe para ti: 0 a 2pi  || I=∫∫∫dzdydx -> ∫(16/3 -2x^2 +x^4/6)dx || z(2z-9)=0 -> z=9/2->x^2+y^2=27/4

para z: cono a esfe -> r<z< 4+√16-r^2  ||  para ti: 0 a 2pi para o: 0 a pi/4  || para o: 0 a pi/3  para p: || I= 64/5 u^3   8.X=y^2+z^2 ; x=8 -y^2 -z^2  || o 3√3/2 en xyz z arriba

I= …. Z/r^2 +z^2 . Rdzdrdti -> ..R/2[ln(r^2 +z^2] r 4+…Drdti ||  para p: 0 a 8coso || 0 a 4sin(o)cos ti || x=8-x -> x=4 =y^2 +z^2 circun en yz  ||
1ra ec esfera centro z=3 a 6 


2da ec cono z=0 pasa por 3√3/2 || en xyz 1ra ec esfer centro y=2 a 4

circun en z=9/2 Por coord cilindr:

||

2da ec esf centro y=4 a 8 pasa por √3 

para ti: 0 a 2pi para r 0 a 3√3/2 ||
3ra ec cono abre arriba y=0

para z: cono a esfer -> √3 r<z<3+ √9-r^2||  grafic las circunf y=1; y=2

V=∫∫∫ r dzdrdti ->V=∫(3r^2/2 +(1/2(2/3 [u^3/2]9/4 9 – √3r^3/3)dti|| Por coord esf

V= 63pi/4 u^3 || para ti: 0 a 2pi para o: o= pi/3  para p; p^2 = 4pcoso ; p^2 = 8pcoso;

X^2+y^2 +z^2>4y,  x^2+y^2 +z^2

I ∩ II : 4y=8y ->y=0 -> x^2+z^2 =0||
448/3∫∫ cos ^3(o)sin(o) do dti 

I ∩ III: y(4y-4)=0-> si y=1 ->x^2+z^2 =3|| u=cos^3(o)   

ii ∩ III: y(y-2)=0 -> si y=2 ->x^2+z^2 =12||
448/3∫∫1/2  1  u^3 du

Graficar las dos circunf en xz||

V= 70pi u^3


∫ dx = x + C                          | ∫ tan(x) dx = ln |sec(u)|+ C               | ∫ 1/√(a^2 – x^2) dx = arcsen(x/a) + C |
Caso2:factor line repetí

∫ a dx = a·x + C                     | ∫ cot(x) dx = ln |sen(u)|+ C               | ∫ 1/√x (x^2 – a^2) dx = (1/a) arcsec(| x |/a) + C | fx/(ax+b)^n=A/ax+b +B/(ax+b)^2 …^n

∫ x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C | ∫ sec(x) dx = ln |sec(u) + tan(u)|+ C  |  ∫ 1/(x^2 – a^2) dx = ln| u +√x^2 – a^2   | + C | Caso3: Fact cuadra distin

∫ (1/x) dx = ln|x| + C            | ∫ csc(x) dx = ln | csc(u) − cot(u)|+ C    |   ∫ 1/(x^2 + a^2) dx = ln| u +√x^2 + a^2   | + C  | = Ax+B/ (ax^2 +bx+c)… Cx+D/(ax^2+bx+c)

∫ e^x dx = e^x + C              | ∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C                 | Métodos Integra: 1.Sustitución: 
u->(x) = du->du |
Caso4:Fact cuadra Igual: 

∫ a^x dx = (a^x) / ln(a) + C | ∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C                | 2.Por Partes: 
u = x–(derivar) du= –dx ; dv=–dx (integrar) v=x | =f(x)/(ax^2 +bx+c)^n =.

∫ ln(x) dx = x·ln(x) – x + C     | ∫ sec(x)·tan(x) dx = sec(x) + C             | ∫ u dv = u·v − ∫ v du ,  para dv usar: fun trigo(menos arc), exp, |.
Ax+B/(ax^2+bx+c) ….+ 

∫ sen(x) dx = -cos(x) + C     | ∫ csc(x)·cot(x) dx = -csc(x) + C              | poli yconstan 3.FraccParci
1.Factorizar ->Caso1: Factor lineal |
Cx+D/(ax^2+bx+c)^n   

∫ cos(x) dx = sen(x) + C     | ∫ 1/(a^2  + x^2) dx =(1/a) arctan(x/a) + C   | distintos = f(x)/(ax+b)(a2x+b2)…. = A/(ax+b) + B/(a2x+b2)…  

| Integral Def:

a∫b​f(x)dx=F(b)−F(a)