Ley de Gravitación Universal de Newton

Isaac Newton descubrió que el causante de los movimientos de los planetas era la fuerza de atracción gravitatoria. La definió como una fuerza invisible de atracción entre masas, que era inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y directamente proporcional al producto de las masas.

Características de la Fuerza Gravitatoria

• La fuerza es una magnitud vectorial que actúa en la dirección de la recta que une los centros de las masas.
• Su sentido en esa dirección será la atracción entre las masas.

Su módulo se expresa mediante la siguiente fórmula:

$$F_g = G \times \frac{M \cdot m}{r^2}$$

La constante de proporcionalidad ($G$) es $6.67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Es una constante universal. Su valor es muy pequeño, por lo cual, las masas de los demás planetas tienen que ser grandes para que la fuerza gravitatoria sea significativa.

Es una fuerza de acción-reacción: la masa pequeña atrae a la grande con la misma intensidad que la grande a la pequeña.

Campo Gravitatorio

Una masa a su alrededor siempre genera un campo gravitatorio. En cada punto del campo hay una intensidad de campo ($g$) que depende directamente del valor de la masa que lo generó ($M$) e inversamente del cuadrado de la distancia ($r$) entre el punto y la masa:

$$g = G \times \frac{M}{r^2}$$

Campos de Fuerzas Conservativos

Cuando movemos un cuerpo de masa $m$ dentro de un campo gravitatorio creado por otra masa $M$, se realiza un trabajo. El desplazamiento de $m$ se realiza bajo la acción de una fuerza, en este caso, la gravitatoria.

El Campo Gravitatorio como Campo Conservativo

El campo gravitatorio es un campo de fuerza conservativo ya que:

1. El trabajo realizado para trasladar una masa $m$ entre dos puntos $A$ y $B$ es independiente de la trayectoria seguida entre esos dos puntos, solo depende de la posición de los puntos.
2. Si la trayectoria para trasladar la masa $m$ es cerrada, el trabajo es nulo, ya que las posiciones inicial y final son la misma.

El trabajo realizado en un campo conservativo para trasladar una masa $m$ entre dos puntos $A$ y $B$ se expresa así:

$$W_{A \to B} = E_{pA} – E_{pB} \quad (\text{Julios})$$

Donde:

• $E_{pA}$ es la energía potencial de la masa $m$ situada en el punto $A$ a distancia $r_A$ de $M$: $E_{pA} = – G \times \frac{M \cdot m}{r_A}$.
• $E_{pB}$ es la energía potencial de la masa $m$ situada en el punto $B$ a distancia $r_B$ de $M$: $E_{pB} = – G \times \frac{M \cdot m}{r_B}$ (*1).

(*1) La energía potencial que tiene la masa $m$ en el campo gravitatorio generado por $M$, su máximo valor será 0 y estará en el infinito.

Si el resultado del trabajo es positivo, significa que la masa se moverá solamente por la acción del campo gravitatorio. En caso de ser negativo, significa que para llevar la masa de $A$ hasta $B$ habrá que realizar un trabajo desde fuera del campo.

Potencial Gravitatorio

Definimos el potencial gravitatorio ($V$) en un punto del campo gravitatorio generado por la masa $M$ como la energía potencial de la unidad de masa colocada en ese punto:

$$E_p = -G \times \frac{M \cdot m}{r} \quad \Rightarrow \quad V = -G \times \frac{M}{r} \quad (\text{J/kg})$$

Se trata de una magnitud escalar que depende de la posición del punto y de la masa $M$ generadora del campo.

Conservación de la Energía Mecánica

La energía mecánica ($E_{mec}$) de una masa $m$ en un campo gravitatorio es la suma de la energía potencial ($E_p$) más la energía cinética ($E_c$):

$$E_{mec} = E_p + E_c$$

El principio de conservación nos dice que en un campo conservativo la energía mecánica en cualquier punto es constante, ya que se conserva. Por lo tanto, entre dos puntos $A$ y $B$ del campo gravitatorio podremos realizar un balance de energías:

$$E_{mec A} = E_{mec B} \quad \Rightarrow \quad E_{pA} + E_{cA} = E_{pB} + E_{cB}$$

Leyes de Kepler

LEY 1: Ley de las Órbitas

Los planetas describen órbitas elípticas y planas alrededor del Sol, estando este en uno de los focos de la elipse.

Las fuerzas que actúan sobre los planetas son gravitatorias. Son fuerzas centrales con lo cual no producen ningún momento al pasar por el centro de giro. Cuando no hay momentos, se conserva el momento angular ($L$). Su velocidad permanece sin salirse del plano perpendicular a $L$, por lo que su trayectoria será plana (*2).

(*2)

LEY 2: Ley de las Áreas

El vector posición de cualquier planeta respecto del Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Por lo tanto, los planetas tienen una velocidad mayor cuando están cercanos al Sol (perihelio), que cuando están alejados del Sol (afelio).

Esto es porque las fuerzas que actúan sobre los planetas son gravitatorias y centrales, por lo que no producen momento alguno al pasar por el centro de giro. Sabemos que en ausencia de momentos exteriores un sistema conserva su momento angular ($L$). Su módulo será el mismo en el afelio que en el perihelio.

$$\frac{dl}{dt} = M \quad \text{Como} \quad M = 0 \Rightarrow L = \text{cte}$$

Siendo $|L| = r \cdot m \cdot v \cdot \sin(90^{\circ}) = r \cdot m \cdot v$.

Como $L_{\text{perihelio}} = L_{\text{afelio}} \Rightarrow (r \cdot m \cdot v)_{\text{perihelio}} = (r \cdot m \cdot v)_{\text{afelio}} \Rightarrow (r \cdot v)_{\text{perihelio}} = (r \cdot v)_{\text{afelio}}$.

Por lo tanto, si $r$ disminuye (perihelio) para que el producto se mantenga constante, $v$ tiene que aumentar. Si $r$ aumenta (afelio), la velocidad disminuye.

LEY 3: Ley de los Periodos

Para cualquier planeta, el cuadrado de su periodo orbital ($T^2$) es proporcional al cubo de su distancia media al Sol ($r^3$): $T^2 = k \cdot r^3$.

Viendo el equilibrio de fuerzas al que está sometido el planeta en su movimiento alrededor del Sol:

$$|F_g| = |F_c| \quad \Rightarrow \quad G \frac{m_s \cdot m_p}{r^2} = m_p \frac{v^2}{r} \quad \text{de donde} \quad v^2 = G \frac{M_s}{r}$$

Además, la velocidad del planeta será: $$v = \frac{2\pi r}{T}$$ siendo $T$ el periodo del movimiento.

Sustituimos $v$ en el equilibrio de fuerzas para llegar a la expresión de la ley:

$$G\frac{M_s}{r} = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2} \quad \text{resultado} \Rightarrow T^2 = \frac{4\pi^2}{G M_s} r^3$$

Siendo la constante de proporcionalidad $k = \frac{4\pi^2}{G M_s}$ (*3).

(*3)

Líneas de Fuerza y Superficies Equipotenciales en el Campo Gravitatorio Creado por una Masa Puntual (o Esférica)

Líneas de Campo Gravitatorio

• Las líneas de campo gravitatorio son tangentes al vector de intensidad de campo gravitatorio $\vec{g}$.
• En las zonas donde la intensidad de campo $g$ es mayor, las líneas están más juntas.
• Si el origen del campo es una masa puntual, las líneas de campo son de dirección radial y sentido hacia la masa.
• Si el origen del campo son dos masas puntuales iguales, las líneas se separan indicando que existe un punto de intensidad $g$ nula entre ellas.
• Las líneas de campo no se pueden cruzar. Si se cruzaran, en ese punto, habría dos valores distintos de $g$, lo cual es imposible.

Superficies Equipotenciales

Las superficies equipotenciales son regiones del espacio en los que el potencial gravitatorio tienen el mismo valor, por ello el trabajo necesario para trasladar una masa de un punto a otro de una superficie equipotencial es nulo.

• Si el campo gravitatorio está creado por una única masa puntual, las superficies equipotenciales son esferas concéntricas.
• Si está creado por dos masas iguales, las superficies equipotenciales se deforman en la zona donde se superpone el efecto de ambas masas.
• Las superficies equipotenciales no se cruzan. Si se cruzaran, en ese punto, habría dos valores distintos de potencial gravitatorio, lo cual es imposible (*4).

(*4) Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de intensidad de campo gravitatorio.