Métodos de Construcción en Geometría Descriptiva: Solución a 12 Láminas de Proyecciones Diédricas

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Ejercicios de Geometría Descriptiva: Soluciones Paso a Paso

A continuación, se presenta la corrección y estructuración de una serie de láminas de ejercicios de Geometría Descriptiva, detallando los pasos para la resolución de problemas de intersecciones, definición de planos y construcción de poliedros.

Lámina 6: Intersección de Planos

Hallar la intersección de los planos alfa (α) y beta (β) que vienen definidos por sus líneas de máxima pendiente m y n.

  1. Las rectas m y n cortan en la Línea de Tierra (L.T.). Obtener las trazas V y H de ambas rectas.
  2. Desde H’m y H’n, trazar rectas perpendiculares (90º) a las proyecciones m’ y n’, respectivamente. Así obtenemos las trazas horizontales de los planos, α1 y β1.
  3. Donde α1 y β1 se cortan, tenemos la traza horizontal de la intersección de planos, H’I.
  4. Desde H’I, trazar una paralela a n’ hasta que corte la L.T. (obteniendo I’).
  5. Desde I’, subir perpendicularmente a la L.T. para obtener V”I.
  6. Unir V”I con V”n para obtener la traza vertical del plano β (β2).
  7. Donde α1 corta la L.T., unir con V”m para obtener la traza vertical del plano α (α2).
  8. Unir V”I con H”I. Ya tenemos la recta de intersección I” y I’.

Lámina 7: Recta que Pasa por un Punto y se Apoya en Otra

Dibujar la recta que, pasando por el punto M (16, 2, 4), se apoya en la recta R determinada por los puntos A (10, 1, …) y C (…).

  1. Trazar una paralela a la recta R desde el punto M y obtener las trazas V y H de esta paralela.
  2. Obtener las trazas de la recta R (V y H). Obtener la traza vertical de la recta S (la recta solución).
  3. Unir las tres trazas verticales V” para definir el plano α2. Unir las dos trazas horizontales H’ para definir el plano α1.
  4. La proyección S’ corta en α1. Llevar este punto a la L.T. y unir con V”s. Donde corte con S”, tenemos el punto de intersección I”, y por lo tanto, también I’.
  5. La solución es la unión de M’ con I’ y M” con I”. Esta es la recta buscada.

Lámina 8: Recta que Corta a Dos Rectas que se Cruzan

Hallar la recta que pasa por el punto A (14, -4, 6) y que corta a dos rectas r y s que se cruzan.

  1. Hallar las trazas V y H de las rectas r y s.
  2. Hacer pasar una paralela a la recta r por el punto A, obteniendo las trazas Vparal y Hparal.
  3. La traza V’paral (en la L.T.) se baja hasta que corta con la recta que va desde A”.
  4. La traza H”paral se sube hasta que corta con la recta que viene de A’.
  5. Unir el punto obtenido en el paso 3 con la traza H’r para obtener el plano α1. Repetir el proceso para obtener α2.
  6. El plano α2 corta con s”. Bajar ese punto hasta la L.T.
  7. La traza H”s se baja hasta que corte con el plano α1. Unir este punto con el anterior.
  8. Esta recta corta en s’, obteniendo el punto de intersección I’. Subir este punto a s” para obtener I”.
  9. La solución es la unión de I’ con A’ y I” con A”. Esta es la recta pedida. Las proyecciones P’ y P” se representan en discontinuo.

Lámina 9: Recta Cortante y Paralela

Por un punto A (21, 3, 2), trazar una recta r que corte a otra recta s que pasa por los puntos B (14, -5, -3) y C (…) y que sea paralela a [elemento no especificado].

  1. Hallar las trazas H y V de la recta S. Unir H’s y V”s para definir el plano β1 (en discontinuo).
  2. Trazar una paralela a la recta S que pase por el punto A. Obtener sus trazas Vparal y Hparal.
  3. Unir el punto donde β1 corta con V”paral y H’paral para obtener β2 (en línea continua).
  4. Recordar que β2 queda por debajo de β1.
  5. Alargar α1 hasta que corte con β2. Bajar hasta la Línea de Tierra y obtener H”α.
  6. Donde α2 corta con β2, obtenemos V”α1. Unir V’α1 con H’α.
  7. Llevar la paralela de esa recta pasando por A’ y obtenemos la proyección r’.
  8. Unir H”α con V”α1 y llevar esa recta paralelamente pasando sobre A” y obtenemos r”.
  9. Esta recta R corta con S y debe cortarse arriba igual que abajo (perpendicular a L.T.).

Lámina 10: Plano Paralelo de Máxima Pendiente

Por un punto N (21, 4, 2), trazar un plano paralelo a aquel en el que la recta r es de máxima pendiente. La recta r pasa por los puntos A (14, 1.5, 4) y B (10, 0, 0).

  1. Unir A con B para obtener r” y r’.
  2. Desde B’, trazar un ángulo de 90º a r’ para obtener la traza horizontal del plano α1.
  3. Desde A’, trazar una paralela a α1 para obtener la proyección s’ y su traza vertical (V’s).
  4. Subir V’s para obtener V”s (trazar una paralela desde A” a la L.T. y donde corte).
  5. Unir el punto donde α1 corta la L.T. con V”s para obtener la traza vertical del plano α2.
  6. Desde N”, trazar una paralela a α2 (definiendo β2). Donde β2 corte la L.T., trazar una paralela a α1 (definiendo β1).
  7. Desde N’, trazar una paralela a α1 para obtener v’. Subir y obtener v”. Desde ahí, trazar una paralela a la L.T. Hacer lo mismo del otro lado (donde α1) desde un punto cualquiera.

Lámina 11: Proyecciones de un Cuadrado en un Plano

Hallar las proyecciones de un cuadrado de 40 mm de lado, situado en un plano cuyas trazas forman un ángulo de tangente 3/2 y tal que el ángulo que forma α1 con L.T. tiene una tangente 2/3.

  1. Sacar α1. Desde un punto cualquiera, llevar 3 cm a la derecha y 2 cm hacia abajo, y unir. Esto define α1.
  2. Sobre α1, llevar 2 cm y 3 cm en perpendicular. Unir desde donde α1 corta en la L.T. hasta ese punto. Finalmente, tenemos α2.
  3. Obtener α2. Desde un punto cualquiera (en la L.T.), trazar una perpendicular a α1 que corta en α2. Desde donde empezamos, subir en perpendicular a la L.T.
  4. Hacer centro en la intersección de α1 y α2 en la L.T., y con radio hasta donde corta la circunferencia en la línea anterior, ya tenemos α2.
  5. Hacer la bisectriz entre α1 y α2. Colocar los puntos (A) y (B) a 2 cm de la bisectriz. Colocar (C) y (D) de igual forma. Formamos el cuadrado.
  6. Desabatir C y D (obteniendo C’ y D’). Desde C, trazar una paralela a α1 hasta que corte con α2, y desde ahí, una perpendicular a α1. Repetir con todos los puntos.
  7. Obtener C” y D” con horizontales. Desde C’, trazar una paralela a α1, perpendicular a la L.T. hasta cortar con α2.

Lámina 12: Tetraedro Regular

Dados los puntos A (7, 4, 0) y B (12, 0, 3), vértices de un tetraedro regular. Se sabe que otra de las aristas que parte de A está en el Plano Horizontal (P.H.).

  1. Unir A y B, y buscar el punto medio. Trazar una perpendicular a A’B’ hasta la L.T., y subir V’.
  2. Trazar una paralela a la L.T. desde el punto medio de arriba, y donde corte V”.
  3. Desde V”, trazar una perpendicular a A”B” hasta la L.T. (obteniendo α2). Desde la L.T., trazar una perpendicular a A’B’ para obtener α1.
  4. Hacer centro en B’ y abrir el radio hasta B”. Unir con A’.
  5. Hacer centro en A’, abrir la esquina del triángulo hasta α2 y obtener C’. Subir hasta la L.T. y obtener C”.
  6. Dibujar un triángulo equilátero aparte con la distancia de los lados A’C’. Buscar el punto medio del triángulo. Desde ahí, trazar una paralela. Pinchar en la parte de arriba del triángulo y con radio hasta la parte inferior izquierda, trazar un arco hasta que corte con la paralela. La distancia del centro del triángulo a dicho punto es la altura.
  7. Unir A’B’C’ y A”B”C”.
  8. Buscar el centro de los dos triángulos (O” y O’). Primero, desde por encima del centro del de arriba, trazar una paralela a la L.T., que corta en dos puntos. Bajarlos y cortan, obteniendo la recta r’.
  9. Hacer lo mismo con el otro triángulo y obtener otra recta r”. Desde el centro, trazar las perpendiculares a dichas rectas para obtener t” y t’.
  10. Elegir un punto X”X’ al azar sobre la recta. Hallar la distancia de cota (dc) desde O” a X”. En X’, trazar una perpendicular y llevar la distancia de cota, uniendo con O’.
  11. Desde O’, llevar la altura del triángulo calculada anteriormente, trazar una paralela y obtener D’. Subir y obtener D” (corta con t”). Unir los puntos para finalizar.

Lámina 13: Cubo y Sección con Plano Bisector

Se da un plano alfa (α) cuyas trazas forman en el espacio un ángulo de 60º. La traza horizontal viene definida por los puntos… Determinar las proyecciones del cubo y la sección con el plano bisector.

  1. Desde donde α1 corta la L.T., trazar 60º hacia abajo para obtener α2.
  2. Desde un punto cualquiera de α1, trazar una perpendicular a α1 que corte α2. Hacer centro en la L.T. y trazar un arco. Ya tenemos α2”.
  3. Abatir O’ a (O). ¿Cómo? Desde O’, trazar una perpendicular a α1 y una paralela hasta la L.T. Hacer lo mismo con A’ a (A). Trazar una circunferencia y ya tenemos el cuadrado.
  4. Pasar de (C) (D) (B) a C’ D’ B’. ¿Cómo? Desde (C), trazar una paralela a α1 hasta α2, y luego una perpendicular. Repetir con todos los puntos.
  5. Abatir de A’ B’… a A” B”… Con horizontales, trazar una paralela a la L.T., una perpendicular a la L.T. hasta α2”.
  6. Desde B” (el que esté más cerca de α2”), trazar una perpendicular a α2”. Por un punto cualquiera X”X’, hallar la distancia de cota (dc) desde X” a B”.
  7. Desde X’ (que está en la línea B’), llevar la perpendicular de la dc y unir con B’. Desde B’, llevar la longitud del lado del cuadrado sacado al principio ((a)(b)…). Trazar una perpendicular y unir para obtener el cubo.
  8. Llevar arriba el ancho del cubo de abajo para obtener el otro cubo.
  9. Hacer una perpendicular a la L.T. al azar, preferiblemente un poco a la derecha de donde α1 corta la L.T. Pasar todos los puntos a la tercera proyección para obtener el tercer cubo.
  10. Hacer la bisectriz de 45 grados que corta al cubo en 4 sitios y realizar la sección.

Lámina 14: Proyecciones de un Octaedro Regular

Se da un plano alfa (α) definido por los puntos P (4, 0, 0), Q (7, 0, 3), R (16, 5, 0). En él se considera el punto O (13, 2, z) como centro de un octaedro regular. Dibujar las dos proyecciones del octaedro.

  1. Trazar una perpendicular a α1 desde Q’. Pinchar en P, abrir hasta Q” y trazar un arco donde corte. Obtenemos α2.
  2. Trazar una paralela a α1 desde O’ hasta la L.T. y obtenemos (O). Con horizontales, conseguimos O”.
  3. Obtenemos B’ llevando 5 mm desde la paralela a α1 desde O’.
  4. Llevar O’ y B’ a (O) y (B). Hacer el cuadrado. Pasar todos esos puntos a A’B’C’D’ y luego a A”B”C”D”.
  5. Desde O”, trazar una perpendicular a α2. Donde queramos, buscar X” y X’. Hallar la distancia de cota (dc) de X” a O”.
  6. Desde X’, trazar una perpendicular a O’ con la dc y unir con O’.
  7. Llevar la distancia de (O) hasta (D), trazar una paralela y obtener el vértice E’. La misma distancia O’E’ es igual a O’F’.
  8. Subir E’ a E” y F’ a F” y unir los puntos para completar el octaedro.

Lámina 15: Construcción de un Prisma Hexagonal Regular

Construir un prisma hexagonal regular con una arista lateral AB, A (12, 1.5, 4) y B (16, 5, 0.5), y punto M… sobre el eje del mismo.

  1. Unir A y B. Trazar una paralela a A-B que pase por M.
  2. Desde A’, trazar una perpendicular a la recta anterior hasta la L.T., obteniendo V’. Trazar una perpendicular a la L.T. Desde A”, trazar una paralela a la L.T. y donde se corten, obtener V”.
  3. Desde V”, trazar una perpendicular a la recta A”B” para obtener α2 = α1 (el plano de la base).
  4. A la recta que pasa por M”, la llamamos β2, que corta en la L.T. Desde ahí, trazar una perpendicular a la L.T. para obtener β1 (alargar hacia arriba y hacia abajo).
  5. Donde β2 corta en α2, tenemos V”. Bajar a la L.T. y obtener V’. Alargar α2 y β1 y donde corten, obtener H’.
  6. Unir H’ con V’ y obtenemos O’ (corta con la recta M’).
  7. Trazar una perpendicular por un punto cualquiera en la L.T. y una perpendicular a α2 = α1 hacia arriba (ambas cosas). Hacer centro donde el plano corta la L.T., con radio donde corta la perpendicular a la L.T., trazar un arco y tenemos (α2).
  8. Llevar O’ y A’ a (O) y (A). Trazar una paralela desde A’ a la L.T., una perpendicular a α1 = α2, que corta en (α2). Repetir con los dos puntos.
  9. Hacer la circunferencia y el hexágono. Pasar todos los puntos a C’D’… y luego esos a D”C” con horizontales (paralela desde A’ a α1 = α2, perpendicular desde la L.T. hasta que corte con α2 = α1…).
  10. Para completarlo, la distancia de la arista lateral es A-B y realizar el ejercicio.

Lámina 16: Proyecciones de un Prisma Hexagonal

Construir las proyecciones de un prisma hexagonal con el centro de una de las bases en el punto O (8, 6, 2.5) y un vértice de la misma en el punto A (6, 4.5, z).

  1. Unir O” con O’1. Trazar una paralela a la Línea de Tierra desde O”, y una perpendicular desde O’ a O’-O1′.
  2. Desde V” y V’, trazar perpendiculares a sus respectivas rectas. Obtenemos α2 y α1 (el plano de la base).
  3. Por un punto cualquiera de la L.T. (no muy pegado), trazar una perpendicular a la L.T. Desde ahí, una perpendicular a α1. Alargar α2 y corta con la perpendicular a la L.T. Hacer centro en la intersección de los dos planos y con radio donde corta, unir y tenemos (α2).
  4. Desde A’, trazar una paralela a α1 hasta la L.T., una perpendicular a la L.T. hasta que corte en α2. Obtenemos A”.
  5. Abatir A’ a (A). Trazar una paralela a α1 hasta la L.T., una perpendicular a α1 hasta (α2) y obtenemos (A). Hacer lo mismo con O’ a (O).
  6. Hacer el círculo y el hexágono con (A) y (O).
  7. Desabatir B’ a B”… con horizontales, trazar una paralela a α1 hasta la L.T., una perpendicular a la L.T. hasta α2 o (α2).
  8. Tomar la distancia de la arista lateral desde O’ a O1′. Igualar todos los puntos.

Lámina 17: Prisma Hexagonal Recto (Aristas Paralelas a L.T.)

Hallar las proyecciones de un prisma hexagonal recto de aristas paralelas a la L.T. La base está determinada por los puntos A (4, 3, 5), B, C, D, E. La altura del prisma es de 80 mm.

  1. Donde α2 corta a todos los puntos, bajar en perpendicular a la L.T. Desde ahí, trazar una paralela a α1 y donde corte con los puntos respectivos, marcar los cinco puntos abajo y arriba.
  2. Trazar una perpendicular a la Línea de Tierra. Trazar una paralela desde los puntos de abajo hasta la perpendicular a la L.T. Trazar un arco y llevar todos los puntos a la tercera proyección (plano de perfil).
  3. Aparte, hacer un gráfico A B C D E F. En horizontal, la distancia de cada punto al de al lado. En vertical, la distancia donde se sitúa el plano α2 (por ejemplo, la cota del punto A”). Recordar hacer también la distancia de E a A.