Curvas Cíclicas y sus Propiedades

La epicicloide, la epicicloide alargada, la cicloide, el caracol de Pascal (lumaca) y la nefroide tienen en común que, junto a la hipocicloide, forman el conjunto de las curvas cíclicas. Estas son curvas planas descritas por un punto de la periferia de un círculo móvil (generatriz). Lo que las diferencia es el procedimiento de creación y la utilidad específica de cada una de ellas.

Comparativa entre Curvas

• Epicicloide e Hipocicloide: Tienen en común el procedimiento de generación, pero un fin distinto. La epicicloide se determina mediante un punto exterior al rodar por la circunferencia generatriz, mientras que la hipocicloide se genera a partir de un punto interior.
• Epicicloide y Cicloide: Su diferencia radica en la base de rodadura; la cicloide gira sobre una línea recta y la epicicloide lo hace sobre una circunferencia directriz.

Definiciones Fundamentales de Trazado

Curva alabeada: Es una curva tridimensional generada por el movimiento de un punto que sigue cualquier ley o ecuación continua en un intervalo determinado. Se denomina orden de una curva al número de puntos que pueden ser cortados por una recta.

Rectificar: Significa determinar sobre una línea recta la longitud exacta de una circunferencia, un arco o una curva cualquiera.

Espiral: Es una curva plana que gira alrededor de un punto central y que, en cada una de sus vueltas, se aleja progresivamente de dicho centro.

Envolvente: Se define como una epicicloide cuyo radio de la circunferencia generadora es infinito, convirtiéndose en una recta que gira tangencialmente a la circunferencia directriz.

Lemniscata de Bernoulli: Es un ejemplo de curva de transición empleada para unir un tramo recto con uno circular de forma suavizada.

Condiciones de Tangencia y Circunferencias

Condición para que dos circunferencias sean tangentes: Para que dos circunferencias sean tangentes entre sí, la línea que une sus centros debe pasar obligatoriamente por el punto de tangencia.

Eje radical: Es una recta perpendicular al segmento determinado por los centros de dos circunferencias. Cualquier punto del eje radical posee la misma potencia respecto a ambas circunferencias.

Circunferencias coaxiales: Es aquel conjunto de circunferencias que comparten un mismo eje radical.

Recta tangente: Es aquella que tiene un solo punto en común con la curva y es perpendicular al radio que une ese punto con el centro.

Recta normal: Es la recta perpendicular a la recta tangente en el punto de contacto con la curva.

Secciones Cónicas y sus Elementos

La Elipse

Es una curva cerrada y plana donde la suma de las distancias de sus puntos a dos focos (F y F’) es constante e igual a su eje mayor (AB). La circunferencia principal de la elipse tiene por centro el de la curva y por diámetro la longitud del eje real (distancia entre vértices).

La Hipérbola

Es una curva abierta y plana de dos ramas. La diferencia de las distancias de sus puntos a los focos es constante e igual a su eje real. La recta normal es perpendicular a la tangente en dicho punto. La circunferencia focal es el lugar geométrico de los puntos simétricos de un foco respecto a las tangentes de su rama correspondiente.

La Parábola

Es una curva abierta de una sola rama donde cada punto equidista de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco (F). La directriz es perpendicular al eje y equivale a una circunferencia focal de radio infinito.

Transformaciones Geométricas

Inversión: Es una transformación anamórfica, ya que no mantiene la forma ni el tamaño de las figuras originales. Sus elementos dobles incluyen:

• Circunferencias de autoinversión.
• Circunferencia de puntos dobles.
• Rectas que pasan por el centro de inversión.

Homología: Es una transformación homográfica generada por la radiación desde un punto O, donde dos figuras homólogas son secciones de dicha radiación. Las rectas límite son el lugar geométrico de los puntos homólogos del infinito.

Tipos Específicos de Curvas Técnicas

Cardioide: Es la más sencilla de las epicicloides. Es la curva descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse alrededor de otra de igual radio.

Hipocicloide normal: Curva plana descrita por un punto de la circunferencia generatriz cuando rueda por el interior de una circunferencia directriz.

Epicicloide reducida: Se genera cuando el punto que describe la curva se encuentra sobre el radio que une el centro de la ruleta y el punto periférico, rodando por el exterior de la directriz.

Curva de transición: Elementos geométricos donde la variación de la curvatura es lineal, evitando discontinuidades en el trazado.

Casos de Tangencias (Problemas de Apolonio)

Se representan mediante las combinaciones de puntos (P), rectas (R) y circunferencias (C): PPR, RRR, PPC, PRR, PCR, PCC, RRC, RCC, CCC.