Fundamentos de Medición y Álgebra Vectorial en Física

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Cálculo de errores en una medición

Existen 2 tipos de mediciones fundamentales: directas e indirectas:

  • Directas: Se obtienen por medio de instrumentos de medición, basándose en las unidades de medida y un solo patrón de medida. P.E.: Longitud de una mesa.
  • Indirectas: Se obtienen por medio de fórmulas matemáticas. P.E.: La velocidad.

Nota: En cualquier tipo de medición, siempre se cometen errores, ya sea por las características de los aparatos de medición, falta de precaución al usarlos, etc.

Error de medición: Diferencia entre el valor medido y el valor verdadero de la cantidad medida.

Valor verdadero: Valor obtenido al efectuar una medición mediante instrumentos perfectos y que no sean afectados por el medio. Solo hay 2 clases de errores: sistemáticos y accidentales.

  • Sistemáticos: Se ocasionan siempre de la misma forma, debido a los siguientes factores:
    • Falta de calibración de los instrumentos.
    • Mala construcción de los mismos.
    • Falta de limpieza (mantenimiento).
    • Temperatura ambiental, humedad y presión.
  • Accidentales: Ocurren cuando, al efectuar varias veces la misma medida de un objeto, se obtienen resultados por debajo o por arriba del valor verdadero, debido a:
    • Falta de precaución al usarlos.
    • Quien realiza la medición no coloca su línea visual perpendicular a la escala del instrumento de medición.


Cálculo de errores en una medición

  1. Valor medio/promedio (V): Suma de todos los valores medidos dividida entre el número de mediciones efectuadas.
  2. Error absoluto (EA): Resta entre cada uno de los valores medidos y el valor medio/promedio.
  3. Error medio o promedio (EM): Suma de todos los errores absolutos dividida entre el número de errores absolutos (sin considerar signos).
  4. Intervalo de incertidumbre (∆I): Suma y resta entre el valor medio/promedio y el error medio.
  5. Error relativo (ER): División de cada uno de los errores absolutos entre el valor medio/promedio (sin considerar signos).
  6. Error porcentual (EP): Multiplicación de cada uno de los errores relativos por 100.

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Álgebra vectorial

Vector: Es un segmento de recta dirigido.

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  1. Punto de aplicación: Inicio o lugar donde el vector está actuando.
  2. Magnitud: Intensidad con la cual el vector está actuando.
  3. Dirección: Línea sobre la cual el vector está actuando.
  4. Sentido: Lugar hacia donde el vector estará actuando.

Cantidad/magnitud escalar: Expresión numérica seguida de su unidad. P.E.: 5 m, 40 N, 30 s.

Cantidad/magnitud vectorial: Expresión numérica seguida de su unidad correspondiente, además de su dirección y sentido. P.E.: 5 m (NE).

Escala de trabajo: Se establece de acuerdo a nuestras necesidades al tamaño que se le quiera dar al vector y es convencional. Las más utilizadas son: 1:1, 1:5, 1:10, 1:20, 1:40, 1:50, 1:100, 1:200, 1:400, 1:500, 1:1000.

  • Pequeña: 1-3 cm
  • Mediana: 4-7 cm
  • Grande: 8-12 cm


Sistema de vectores

Existen 2 tipos de estos: colineales (coplanares) y concurrentes (angulares).

Colineales/coplanares: Cuando 2 o más vectores se encuentran en la misma línea de acción; será positivo si va para la derecha o hacia arriba, y negativo si va hacia abajo o a la izquierda.

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Concurrentes/angulares: Cuando la dirección/línea de acción de los vectores se cruza en el punto de aplicación de los vectores. Forman ángulos.

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Descomposición y composición de vectores

Un sistema de vectores puede sustituirse por un sistema equivalente que puede contener un número mayor o menor de vectores que el original.

  • Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores que el original se llama: Descomposición de un vector (método del triángulo).
  • Si el sistema equivalente tiene un número menor de vectores que el original se llama: Composición de un vector (método del paralelogramo).


Descomposición de vectores

Datos:

  • F: 40 N (NE)
  • ∠: 40º
  • Fx: ?
  • Fy: ?
    • Gráfica
    • Analítica

Pasos:

  1. Para el paso gráfico, hay que establecer la escala de trabajo mediante una regla de 3, donde 1 cm equivaldrá a 10 N; la F dada (40 N) estará con la X, por lo que medirá 4 cm.
  2. Una vez lista la escala, trazaremos el plano tomando en cuenta la dirección, en este caso NE (primer cuadrante).
  3. Ahora, con el transportador colocado en el origen, trazaremos el ángulo dado; después, con la regla, le daremos el largo que establecimos en la escala (4 cm en este caso).
  4. Después, simplemente trazaremos una línea punteada hacia X y Y. Lo que resulte de medir Fx (3.1) y Fy (2.7) lo multiplicaremos por la escala (10 N en este caso) -> 3.1 x 10 N = 31 N; 2.7 x 10 N = 27 N.
  5. Ahora para el analítico, de acuerdo al cuadrante en el que estemos, Sen y Cos serán positivos o negativos (cuadrante 1: Fx = (F)(Cos∠) y Fy = (F)(Sen∠); 2: Fx = (F)(-Cos∠) y Fy = (F)(Sen∠); 3: Fx = (F)(-Cos∠) y Fy = (F)(-Sen∠); 4: Fx = (F)(+Cos∠) y Fy = (F)(-Sen∠)). Ahora solo se intercambian los valores por sus equivalencias.

Nota: Se puede trabajar con los ángulos equivalentes para no usar las fórmulas: en el cuadrante 1 se deja el mismo ángulo; en el 2, a 180 le restamos el ángulo que nos den; en el tercero, a 180 le sumamos el ángulo que nos den; y en el 4, a 360 le restamos el ángulo que nos den.


Composición de vectores

Datos:

  • F1: 40 N (N) (eje Y)
  • F2: 30 N (E) (eje X)
  • FR: ?
  • ∠: ?
    • Gráfica
    • Analítica

Pasos:

  1. Para el paso gráfico, hay que establecer la escala de trabajo mediante una regla de 3, donde 1 cm equivaldrá a 10 N; las F dadas (40 y 30 N) estarán con la X, por lo que medirán X1: 4 cm y X2: 3 cm.
  2. Una vez lista la escala, trazaremos el plano tomando en cuenta la dirección, en este caso N y E (primer cuadrante).
  3. Ahora, con la regla, trazaremos X1 y X2; dependiendo si está en X o en Y, de acuerdo a la gráfica deberán medir 4 y 3 cm respectivamente; luego, las unimos con líneas punteadas.
  4. Después, desde el punto de origen de la gráfica, haremos una línea diagonal hasta llegar al punto en el que se cruzan las líneas punteadas. Así, para obtener la FR (gráficamente), multiplicaremos lo que haya medido esta línea por la escala (10 N), lo que dará un aproximado de 50 N.
  5. Ahora para el analítico, de acuerdo a la fórmula FR = √ (F1)² + (F2)², obtendremos el factor resultante sustituyendo los valores con sus equivalentes dados en los datos. Para el ángulo, seguiremos la fórmula tan⁻¹(Fy/Fx).

Nota: Los ángulos en el 2 y 4 son negativos y en 1 y 3 serán positivos.


Investigaciones

  • El antecesor del vector es el cuaternión, formado por dos partes: una parte real y una parte imaginaria, planteado gracias a los aportes del irlandés William Hamilton.
  • El análisis vectorial se lo debemos al físico norteamericano Gibbs.
  • Cuando el vector a multiplicar es el vector nulo: v = (0,0); entonces, la multiplicación de cualquier número con el vector nulo será igual a cero.
  • Si el número que multiplica al vector es mayor que cero: El vector resultante tendrá la misma dirección y sentido que el vector v, pero su tamaño será tantas veces mayor como el valor del número.
  • Si el número por el que se multiplica el vector es menor que cero: El vector resultante será un vector con la misma dirección, pero con sentido contrario.