Fundamentos de la Geometría y el Método

Geometría

Es la rama de la **matemática** que se ocupa del estudio de las **propiedades de las figuras** en el plano o el espacio.

Método Deductivo

Es un **método científico** que considera que la **conclusión** se halla implícita dentro de las **premisas**.

Geometría Euclidiana

Es la geometría que se basa en el supuesto de **Euclides**, según el cual por un punto dado solo se puede trazar una **recta paralela** a una recta dada.

Entes Fundamentales y Figuras

Punto

Es uno de los **entes fundamentales** junto con la recta y el plano.

Línea

Es una **sucesión de puntos** que se extiende indefinidamente y de manera continua en una **única dimensión**.

Recta

Es aquello que **no tiene ángulos ni curvas**.

Segmento

Es un **fragmento de recta** que está comprendido entre dos puntos, llamados **puntos extremos o finales**.

Plano

Es un **elemento ideal** que solo posee **dos dimensiones** y contiene infinitos **puntos y rectas**.

Superficie

Es de hecho un **conjunto de puntos** de un espacio euclídeo que forma un **espacio topológico bidimensional**.

Figuras Geométricas

Son el objeto de estudio de la **geometría**, rama de las matemáticas que se dedica a analizar las **propiedades y medidas** de las figuras en el espacio o plano.

Posiciones de las Rectas en el Plano

• Secantes: Dos rectas son secantes si solo tienen un **punto en común**.
• Paralelas: Dos rectas son paralelas si no tienen **ningún punto en común**.
• Coincidentes: Dos rectas son coincidentes si tienen **todos los puntos en común**.

Relaciones y Medidas

Congruencia

Es un **término** que se utiliza para hacer referencia a la **relación de similitud o equilibrio** que puede existir entre dos o más elementos.

Semejanza

Es la **variación en tamaño** entre dos objetos o cuerpos, pero sus **formas son idénticas**.

Área

Es una **medida de superficie** y es igual al producto de dos dimensiones: largo por ancho, base por altura, o lado por lado.

Unidad de Área

Posee el producto de dos dimensiones. Las **unidades de área** se encuentran elevadas al **cuadrado**.

Altura

Es una **longitud** o una **distancia** de una dimensión geométrica, usualmente vertical o en la dirección de la gravedad.

Ángulos y sus Clasificaciones

Ángulos

Es la parte del plano comprendida entre dos **semirrectas** que tienen el mismo punto de origen o **vértice**.

Tipos de Ángulos por su Medida

• Ángulo Agudo: Es de menos de **90 grados** (< 90°).
• Ángulo Recto: Es de **90 grados** (= 90°).
• Ángulo Obtuso: De más de 90 grados pero menos de **180 grados** (90° < x < 180°).
• Ángulo Llano: Un ángulo de **180 grados** (= 180°).
• Ángulo Cóncavo o Reflejo: De más de **180 grados** (> 180°).

Pares de Ángulos

• Adyacentes: Son los que están formados de manera que un lado es **común** y los otros dos lados pertenecen a la **misma recta**.
• Complementarios: Son dos ángulos que sumados valen un **ángulo recto**, es decir, **90 grados**.
• Suplementarios: Son los ángulos que sumados valen dos ángulos rectos, es decir, **180 grados**.
• Opuestos por el Vértice: Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos son las **prolongaciones** de los lados del otro.

Geometría Analítica y Coordenadas

René Descartes

Se le considera como el padre de la **geometría analítica** y de la **filosofía moderna**.

Plano Cartesiano

Se le conoce como dos **rectas numéricas perpendiculares**, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado **origen** o cero del sistema.

Formación del Plano Cartesiano

Está formado por dos **rectas numéricas**, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto.

Cuadrantes

Son las cuatro partes o **zonas** en las que dos rectas perpendiculares dividen a un plano.

Coordenadas Cartesianas

Son un tipo de **coordenadas** usadas en **espacios euclídeos** para la **representación gráfica** de una función.

Parejas Ordenadas

Tienen dos elementos; cada uno conserva un **orden**, uno de ellos ocupa el primer lugar y el otro el segundo.

Parejas Ordenadas (Definición alternativa)

Es una **coordenada bien definida** dada por una **abscisa** y una **ordenada**.

Triángulos y sus Propiedades

Triángulo

Es el **polígono** que resulta de unir tres puntos.

Clasificación de Triángulos según la Medida de sus Lados

• Equilátero: Sus **lados son iguales** y sus ángulos interiores también.
• Isósceles: Tienen **dos lados iguales** y uno distinto; dos ángulos iguales y el otro ángulo es distinto.
• Escaleno: Los **tres lados son distintos** y los tres ángulos son también distintos.

Clasificación de Triángulos según la Medida de sus Ángulos

• Acutángulo: Tiene los **tres ángulos menores de 90 grados**.
• Rectángulo: Tiene un **ángulo interior de 90 grados** y los otros dos ángulos son agudos.
• Obtusángulo: Tiene un **ángulo interior obtuso** y los otros dos ángulos son agudos.

Teorema de Pitágoras

Establece que en todo **triángulo rectángulo**, el cuadrado de la longitud de la **hipotenusa** es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los **catetos**.

Trigonometría

Es una **rama** de la **matemática** cuyo significado etimológico es la **medición de los triángulos**.

Líneas y Puntos Notables del Triángulo

Mediatriz

Es la **línea recta perpendicular** a un segmento, trazada por su **punto medio**.

Bisectriz

Es la recta que pasa por el **vértice del ángulo** y lo divide en **dos partes iguales**.

Mediana (Estadística)

Representa el valor de la variable de **posición central** en un **conjunto de datos ordenados**.

Circuncentro

Se utiliza para designar a un punto dentro de una figura geométrica más o menos compleja. (Nota: En geometría, es el punto donde se cortan las mediatrices).

Incentro

Es el punto en el que se cortan las **tres bisectrices** de los ángulos internos del triángulo y es el centro de la **circunferencia inscrita**.

Ortocentro

Es el punto donde se cortan las **tres alturas** de un triángulo.