Conceptos Fundamentales de Geometría y Trigonometría

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Equivalencia entre Sistemas de Medición de Ángulos

Para ello utilizamos el sistema **Sexagesimal** y el sistema **Circular**.

  • El Sistema Sexagesimal: Grados (°), Minutos (´) y Segundos (´´).
  • El Sistema Circular: Radianes.

Para la conversión entre estos sistemas, se utiliza una equivalencia de proporción simple (Regla de Tres).

180° = π Rad

Triángulos

  • Equilátero: Sus tres lados miden lo mismo y, por lo tanto, sus tres ángulos interiores son iguales (60° cada uno).
  • Isósceles: Presenta dos lados de igual medida y uno desigual.
  • Escaleno: Sus tres lados poseen distintas medidas.
  • Triángulo Rectángulo: Tiene un ángulo interior recto (90°) y dos ángulos agudos (menores de 90°).
  • Triángulo Acutángulo: Aquel cuyos tres ángulos interiores son agudos (menores de 90°).
  • Triángulo Obtusángulo: Uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90° y menor de 180°). Los otros dos son agudos (menores de 90°).

Puntos y Rectas Notables del Triángulo

  • Altura: Segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto.
  • Mediana: Segmento que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
  • Mediatriz: Recta perpendicular a uno de los lados del triángulo que pasa por su punto medio.
  • Bisectriz: Segmento que divide un ángulo interior en dos partes iguales y se prolonga hasta el lado opuesto.
  • Ortocentro: Punto de corte de las tres alturas. Se expresa con la letra H.
  • Baricentro: Punto de corte de las medianas. Se expresa con la letra G.
  • Circuncentro: Punto de corte de las mediatrices. Se expresa con la letra O. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (que pasa por sus tres vértices).
  • Incentro: Punto de corte de las bisectrices. Se expresa con la letra I. Es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (tangente a sus tres lados).
  • Recta de Euler: El **Ortocentro**, **Baricentro** y **Circuncentro** de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta.

Recta de Euler en los Distintos Tipos de Triángulos

Es la recta que pasa por el **Circuncentro**, **Baricentro** y **Ortocentro** de un triángulo.

Triángulo Equilátero:

  • Carece de Recta de Euler, ya que todos sus puntos notables se encuentran en el mismo lugar geométrico (están superpuestos).
  • Todas sus rectas notables ocupan el mismo lugar geométrico, estando superpuestas.

Triángulo Isósceles:

La **Recta de Euler** representa su **Eje de Simetría**, ya que los puntos notables quedan distribuidos a lo largo del centro del triángulo.

  • En un **Triángulo Isósceles Acutángulo**, todos los **Puntos Notables** quedan dentro del triángulo.
  • En un **Triángulo Isósceles Obtusángulo**, el **Ortocentro** y el **Circuncentro** quedan fuera del triángulo.

Triángulo Rectángulo (Escaleno):

La **Recta de Euler** pasa por todos los puntos notables, excepto por el **Incentro**.

  • En este triángulo, el **Ortocentro** se ubica en el vértice del ángulo recto (90°).
  • El **Circuncentro** siempre se ubica en el punto medio de la hipotenusa (el lado más largo del triángulo).

Triángulo Escaleno:

La **Recta de Euler** pasa por todos los puntos notables, excepto por el **Incentro**.

  • En un **Triángulo Escaleno Acutángulo**, todos los puntos notables quedan dentro del mismo.
  • En un **Triángulo Escaleno Obtusángulo**, el **Circuncentro** y el **Ortocentro** quedan fuera del triángulo.

Teorema de Tales

Los segmentos de línea que se forman cuando dos líneas son intersecadas por líneas paralelas son proporcionales.

Este teorema señala que: *«Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.»*

AB = AC = BC

AB = AC = BC

Teorema de Pitágoras

Este teorema señala que: *«El cuadrado de la hipotenusa, en los triángulos rectángulos, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.»*

  • Este teorema solo aplica en los **Triángulos Rectángulos**, figuras que poseen un ángulo recto (90°).
  • La **Hipotenusa** es el lado de mayor longitud de dicha figura (opuesto al ángulo recto).
  • Los **catetos** se caracterizan por ser los lados menores del triángulo.

c² = a² + b²

a² = c² – b²

b² = c² – a²

Elementos de una Circunferencia

Circunferencia: Conjunto de puntos en un plano equidistantes de un punto fijo llamado **centro**.

Radio: Segmento de recta en el que uno de sus extremos es el **centro** de una circunferencia y el otro es un punto cualquiera de la misma.

Cuerda: Segmento de recta cuyos extremos son puntos que pertenecen a una circunferencia.

Diámetro: Cuerda que contiene el **centro** de la circunferencia.

Recta Secante: Cualquier recta que corta una circunferencia en dos puntos.

Recta Tangente: Cualquier recta que contiene uno y solo un punto de la circunferencia.

Ángulo Central: Ángulo cuyo vértice es el **centro** de una circunferencia.

Ángulo Inscrito: Ángulo cuyo vértice es un punto cualquiera de una circunferencia y sus lados contienen cuerdas de la misma.

Ángulo Semi-inscrito: Ángulo cuyo vértice es un punto de una circunferencia, uno de sus lados contiene una cuerda y el otro lado es una tangente a la circunferencia.

Ángulos en la Circunferencia

Medida de un Ángulo Central:

Su vértice es el **centro**. La medida de un **ángulo central** es igual a la medida de su **arco correspondiente**.

  • Los **radios** forman un ángulo y un arco.

Medida del Ángulo Inscrito:

Aquel cuyo vértice se encuentra en un punto cualquiera de la circunferencia y sus lados contienen cuerdas de la misma. La medida de un **ángulo inscrito** es igual a la mitad del **arco comprendido** entre sus lados.

AVB = 1/2 AB

  • Siempre es necesario identificar qué arcos corresponden a qué ángulos.

Medida de un Ángulo Semi-inscrito:

Aquel cuyo vértice es un punto cualquiera de la circunferencia, pero uno de sus lados contiene una cuerda y el otro es tangente a la misma. La medida de un **ángulo semi-inscrito** es igual a la mitad del **arco comprendido** entre sus lados.

Funciones Trigonométricas

Trigonometría: Del griego *trigón* (triángulo) y *metra* (medida), se define como la rama de las **matemáticas** cuyo objetivo de estudio son las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

Funciones Trigonométricas: Razones trigonométricas que surgen de la división (razón) entre los lados de un **triángulo rectángulo**.

Elementos de un Triángulo Rectángulo: Todas las razones se definen en relación con un ángulo agudo. Las razones cambiarán dependiendo del ángulo que se tome como referencia.

  • Hipotenusa: El lado más grande del triángulo. Es el lado opuesto al **ángulo recto**.
  • Cateto Opuesto: Lado que se encuentra frente al **ángulo de referencia**.
  • Cateto Adyacente: Lado que se encuentra junto al **ángulo de referencia**.

Razones Trigonométricas en el Triángulo

  • Seno (sin): Razón entre la longitud del **cateto opuesto** y la **hipotenusa**.
  • Coseno (cos): Razón entre la longitud del **cateto adyacente** y la **hipotenusa**.
  • Tangente (tan): Razón entre la longitud del **cateto opuesto** y del **cateto adyacente**.

Funciones Trigonométricas en el Plano

Las **funciones trigonométricas** se pueden expresar dentro de una **circunferencia unitaria** en un **plano cartesiano**, donde se pueden clasificar distintas funciones trigonométricas.

Las **razones trigonométricas** en una circunferencia surgen de acomodar triángulos en el plano cartesiano, donde el signo de la función dependerá del **cuadrante** en el que se encuentre.