(c)’ = 0 | (sin u)’ = cos u * u’ | (arcsin u)’ = u’ / sqrt(1 – u^2) | (cu)’ = c * u’ | (1/u)’ = -u’ / u^2

(u^n)’ = n * u^(n-1) * u’ | (cos u)’ = -sin u * u’ | (arccos u)’ = -u’ / sqrt(1 – u^2) | (u ± v)’ = u’ ± v’ | (1/u^n)’ = -n * u’ / u^(n+1)

(e^u)’ = e^u * u’ | (tan u)’ = sec^2 u * u’ | (arctan u)’ = u’ / (1 + u^2) | (uv)’ = u’v + uv’

(a^u)’ = a^u * ln(a) * u’ | (cot u)’ = -csc^2 u * u’ | (arccot u)’ = -u’ / (1 + u^2) | (u/v)’ = (u’v – uv’) / v^2

(ln u)’ = u’/u | (sec u)’ = sec u * tan u * u’ | (arcsec u)’ = u’ / (u * sqrt(u^2 – 1)) | f(g(x))’ = f'(g(x)) * g'(x)

(log_a u)’ = u’ / (u * ln a) | (csc u)’ = -csc u * cot u * u’ | (arccsc u)’ = -u’ / (u * sqrt(u^2 – 1)) | (sqrt(u))’ = u’ / (2 * sqrt(u))

INTEGRALES:

∫ dx = x + C | ∫ x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C | ∫ e^x dx = e^x + C | ∫ ln(x) dx = x·ln(x) – x + C | ∫ cos(x) dx = sen(x) + C | ∫ cot(x) dx = ln |sen(u)| + C

∫ a dx = a·x + C | ∫ (1/x) dx = ln|x| + C | ∫ a^x dx = (a^x) / ln(a) + C | ∫ sen(x) dx = -cos(x) + C | ∫ tan(x) dx = ln |sec(u)| + C | ∫ sec(x) dx = ln |sec(u) + tan(u)| + C

∫ csc(x) dx = ln |csc(u) − cot(u)| + C | ∫ 1/(x^2 + a^2) dx = ln|u + √(x^2 + a^2)| + C | ∫ Cx + D/(ax^2 + bx + c)^n | √… = acosθ | 2.√(a^2 + x^2) -> x = atanθ

∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C | Metodos de Integración:

• 1. Sustitución: u -> (x) = du -> du | unir las fracciones e igualar numeradores | dx = a sec^2θ dθ
• 2. Por Partes: u = x — (derivar) du = –dx; dv = –dx (integrar) v = x | resolver para A y B, si x es n…
• 3. Fracciones Parciales: 1. Factorizar -> Caso 1: Factor lineal | con A y B arriba | x = a secθ, dx = a secθ tanθ dθ

∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C | ∫ sec(x)·tan(x) dx = sec(x) + C | ∫ u dv = u·v − ∫ v du, para dv usar: funciones trigonométricas (menos arc), exponenciales, | reemplazar en la fracción original

∫ csc(x)·cot(x) dx = -csc(x) + C | ∫ 1/(a^2 + x^2) dx = (1/a) arctan(x/a) + C | Integral Definida: a∫b f(x)dx = F(b) − F(a)

∫ 1/√(a^2 – x^2) dx = arcsen(x/a) + C | Caso 2: factor lineal repetido = f(x)/(ax+b)^n = A/(ax+b) + B/(ax+b)^2 …^n | Por sustitución trigonométrica: 1. √(a^2 – x^2)

∫ 1/√x (x^2 – a^2) dx = (1/a) arcsec(|x|/a) + C | Caso 3: Factores cuadráticos distintos = Ax + B/(ax^2 + bx + c)… | Caso 4: Factores cuadráticos iguales: = f(x)/(ax^2 + bx + c)^n = Ax + B/(ax^2 + bx + c)…

Cambio de Variables: Transformación T(u,v):

• 1. Graficar 2. Transformar T(u,v) -> u = f(x,y) y v = f(x,y) | frontera de R, sustituir coordenadas polares
• 3. Poner los límites 4. Hallar el jacobiano

J(x,y) = |Ux Uy Vx Vy| = Ux . Vy – (Uy . Vx) | ∭ f(x,y,z)dV = ∫a b ∫c d ∫e f f(x,y,z) | f(x(r,θ),y(r,θ),z) r dz dr dθ

J(u,v) = 1/ J(x,y) | ∬ f(x(u,v),y(u,v)) |J(x,y)| dudv

Área con Integrales Dobles: ∭ f(x,y,z)dV | Graficar plano luego espacio

Integrales Dobles en Coordenadas Polares: 1. Graficar (calcular área límite por…) | = ∫a b ∫g(x) f(y) ∫ar1(x,y) ar2(x,y) f(x,y,z)dzdydx

IT en Coordenadas Esféricas: ∭ f(x,y,z)dV

x = r.cos(θ), y = r.sin(θ), r^2 = x^2 + y^2, J(r,θ) = r | 2. Elegir tipo 1 (x con número) o 2 (y con número)

1. Graficar ojo: (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 | 3. Armar: ∫a b ∫g(x) f(x) dy dx o ∫a b ∫g(x) f(x) dx dy

IT en Coordenadas Cilíndricas: ∭ f(x,y,z)dV | y = p.sin(⌀).sin(θ)

h,k = coordenadas centro de circunferencia, r = longitud de radio | ojo se puede usar transformación o coordenadas polares

x = r.cos(θ); z = r.sin(θ); y = y | z = p.cos(⌀)

J(p,θ,⌀) = p^2. sin(⌀); x^2 + y^2 = p^2. sin^2(⌀)

1. Graficar plano con ecuación igual | x = t, y = mt + b -> α(t) = (x,y), t ∈ [x1,x2]

α(t) = (r cos(t), r sen(t)), t ∈ [0,2pi]

x^2 + y^2 + z^2 = p^2 | 2. Graficar espacio 3. Identificar si es región general, cilíndrica o esférica

2. Parámetro de área de forma y = f(x): || CAMPOS VECTORIALES:

∫c F.dα = ∫θ1 θ2 ∫⌀1 ⌀2 ∫ p1 p2 f(x(p,θ,⌀),.., z(..)). p^2. sin(⌀) dp d⌀ dθ | usa sus reglas y resolver

α(t) = (t,f(t)), t ∈ [x1,x2] | ∫a b F(x(t), y(t)) . α'(t) dt

1. Sustituir en ecuaciones (cuando hay igualdad) | si hay 3 ecuaciones I ∩ II, I ∩ III, II ∩ III se halla

3. Parámetro de forma x = f(y): | ∫c F.dα = ∫c Mdx + Ndy

Graficar plano luego espacio con las 2 ecuaciones que dan 2 ecuaciones

Int Línea de Campo Vectorial: α(t) = (f(t), t), t ∈ [y1,y2]

1. Si te da α(t): x = t1 y = t2

2. Para θ: 0 a 2pi, para ⌀: tan(⌀) = co/ca, para p: distancia del origen

1. Parámetro de un segmento recto: | P(a,b) Q(c,d) 1. α(t) = (1-t)(a,b) + t(c,d), t ∈ [0,1]

2. Si te da un C y coordenadas:

Volumen con IT: V = ∭ dV (implementar lo anterior)

2. y = mx + b (m = (y2 – y1) / (x2 – x1)) -> y – y1 = m(x – x1), P(x1,x2)

y = r.sen(t) | graficar y las flechas de p1 a p2

x = t; y = f(t), derivar

INT de Línea sobre CAMPO Conservativo: ∂f/∂y = derivada de respuesta para y + g'(y) | y poner las flechas según lo que pide

Si la flecha va de derecha a izquierda, nos dan 3 curvas, a) graficarlas | todo eso igualar a ecuación y -> se van

Por el teorema de Green: ∮c Mdx + Ndy = ∫∫R(∂N/∂x – ∂M/∂y) dA, derivar y hacer la resta

Principio 3. Si hay 2 o 3 Curvas: | ∂M/∂y y ∂N/∂x; F es conservativo <-> ∂M/∂y = ∂N/∂x

∫g'(y) dy = ∫reempl dy | y armar la integral con esa resta

Graficar, flecha; y = f(x) -> x = t | (sospecha si F no lo es)

c) w = ∫c Fdα = f(coordenadas que inician el trazo) = g(y) = respuesta de integrar + C

∫∫R resta dA, utilizar lo conocido

y = f(t) derivar ver que parametría es | termina el trazo ->>-) – f(coordenadas que inician el trazo)

Así, f(x,y) = respuesta de ∫∂f/∂x dx + reemplazo g(y)

De triples para resolverla y derivar según eso, armar la integral | Como f es conservativo -> ∃f(x,y) / ▽f(x,y) = F(x,y)

Por tanto: ∫c Fdα = f(coordenadas finales) – f(coordenadas iniciales)

Cada una será cada curva | (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (ecuación x, ecuación y) -> ∫∂f/∂x dx = ∫ ecuación x dx

f(coordenadas iniciales) = reemplazar esos valores en

Ojo w = ∫c Fdα = ∫c ydx – xdy | resultado: f(x,y) = respuesta de integrar para x

TEOREMA DE GREEN: 1. Graficar las curvas